FLUJO EN CANALES ABIERTOS
TEMAS
- INTRODUCCIÓN
- CONCEPTOS
- CLASIFICACIÓN DE FLUJOS EN CANALES
- FLUJO UNIFORME Y VARIADO
- FLUJOS LAMINARES Y TURBULENTOS EN CANALES
- SECCIONES TÍPICAS DE CANALES ABIERTOS
- NÚMERO DE FROUDE Y VELOCIDAD DE ONDAS
- VELOCIDAD DE ONDAS SUPERFICIALES
- ENERGÍA ESPECÍFICA
- FLUJO UNIFORME EN CANALES
- FLUJO UNIFORME CRÍTICO
- FLUJO DE VARIACIÓN GRADUAL
- PERFILES DE SUPERFICIE DE LÍQUIDO EN CANALES ABIERTOS Y(X)
- CLASIFICACIÓN DE PERFILES EN FLUJOS GRADUALMENTE VARIADOS
- FLUJO DE VARIACIÓN RÁPIDA Y SALTO HIDRÁULICO
INTRODUCCIÓN
El flujo en un conducto puede ser flujo en canal abierto o flujo en tubería. Estos dos tipo de flujo son similares en muchos aspectos, pero estos se diferencian en un aspecto importante.
El flujo en canal abierto debe tener una superficie libre, tanto que el flujo en tubería no lo tiene, debido a que en este caso el agua debe llenar por completo el conducto, las condiciones de flujo en canal abierto se complican por el hecho de que las composiciones de la superficie libre puede cambiar con el tiempo y con el espacio, también por el hecho de la profundidad del flujo, el caudal y la pendiente del fondo del canal y la superficie libre son independientes.
En estas secciones transversales del flujo, es fija debido que esta completamente definida por la geometría del conducto, la sección transversal de una tubería por lo general es circular, por lo tanto que la de un canal abierto puede ser de cualquier forma, desde circulares hasta formas irregulares en ríos. La rugosidad de un canal abierto varía de la posición de una superficie libre. Por consiguiente la selección de los coeficiente de fricción amplían una mayor incertidumbre para el caso de canales abierto que para el de tubería. El flujo en un conducto cerrado no es necesariamente flujo en tubería si tiene una superficie libre, puede clasificarse como un canal abierto.
CONCEPTOS
- El flujo en canal abierto implica que el flujo en el canal está abierto a la atmósfera, pero si el flujo en el canal abierto el líquido no cubre el conducto por completo, por lo tanto, hay una superficie libre.
- El flujo en tuberías se conduce por una diferencia de presión, mientras que el flujo en el canal abierto se conduce de manera natural por gravedad.
- El flujo del agua en un río, por ejemplo, se conduce por la diferencia de elevación entre agua arriba y agua abajo.
- El caudal en un canal abierto está establecido por el balance dinámico entre gravedad y fricción.
- La inercia del flujo de un líquido también se vuelve importante en flujos inestables. La superficie libre coincide con la línea de gradiente hidráulico (LGH, HGL, por sus siglas en inglés) y la presión es constante a lo largo de la superficie libre.
Un flujo en canal abierto implica sólo líquido (usualmente agua o agua residual) el cual se encuentra a presión atmosférica).
Como lo podemos ver el la figura.
CLASIFICACIÓN DE FLUJO EN CANALES ABIERTOS
- El flujo en un canal abierto se refiere al flujo de un líquido en canales abiertos respecto a la atmósfera o en un conducto parcialmente lleno y se caracteriza por la presencia de una interfase líquido-gas, llamada superficie libre.
- La mayoría de los flujos naturales encontrados en la práctica, como los de agua en riachuelos, ríos e inundaciones además de cunetas a los lados de carreteras, estacionamientos o techos, son también flujos en canales abiertos.
- En un canal abierto, la velocidad del flujo es cero sobre las superficies laterales y en el fondo del canal debido a la condición de no deslizamiento.
- Cuando existe un flujo secundario significante, como en canales no circulares, la máxima velocidad ocurre abajo de la superficie libre en algún lugar entre 25% de la profundidad como se muestra en la figura:
- Además, la velocidad del flujo varía en la dirección de la superficie en la mayoría de los casos.
- Por lo tanto, la distribución de la velocidad (y en consecuencia el flujo) en canales abiertos es en general tridimensional, como se muestra en la figura:
- En la práctica de la ingeniería las ecuaciones están escritas en términos de la velocidad promedio en secciones transversales del canal.
- La velocidad promedio varía solamente con la distancia "x" en la dirección del flujo, V es una variable unidimensional.
- Las ecuaciones unidimensionales dan resultados de buena precisión y se aplican comúnmente en la práctica.
- La condición de no deslizamiento en las paredes de un canal causa los gradientes de velocidad y el esfuerzo de corte tw se desarrolla a lo largo de las superficies mojadas del canal.
- El esfuerzo de corte tw varía a lo largo del perímetro mojado en la sección transversal dada y ofrece resistencia al flujo, la magnitud de esta resistencia depende de la viscosidad del fluido como también del gradiente de velocidad en las paredes del canal.
Los flujos en canales abiertos se clasifican también como estacionarios o no estacionarios.
- Flujo Estacionario: si no cambia con el tiempo en una posición dada, como lo es la profundidad del flujo (o la velocidad promedio) no varía con el tiempo en cualquier lugar dado del canal (aunque este podría variar de un lugar a otro).
FLUJO UNIFORME Y VARIADO
El flujo en canales abiertos también se clasifica como uniforme o no uniforme (también llamado variado), esto depende de cómo la profundidad del flujo "y" (la distancia de la superficie libre desde el fondo del canal medido en la dirección vertical) varía a lo largo del canal.
Para el flujo uniforme en un canal
abierto, la profundidad de flujo y y la
velocidad de flujo promedio V permanecen
constantes.
Como podemos ver en la figura.
- Las condiciones del flujo uniforme comúnmente se encuentran en la práctica en tramos largos y rectos de canales con pendiente y sección transversal constantes.
- En canales abiertos de pendiente y sección transversal constantes, el líquido acelera hasta que la pérdida de carga debida a los efectos de fricción se iguala a la caída de elevación, el líquido en este punto alcanza su velocidad final y se establece un flujo uniforme.
- El flujo se mantiene uniforme siempre que la pendiente, la sección transversal y la rugosidad del canal no tengan algún cambio.
- La profundidad del flujo en flujos uniformes se llama profundidad normal yn, la cual es un parámetro característico importante para flujos en canales abiertos.
- La presencia de una obstrucción en el canal, como una compuerta, o un cambio de la pendiente o de sección transversal, ocasiona que la profundidad del flujo cambie y en consecuencia el flujo se convierta en variado o no uniforme.
- El flujo de variación rápida (FVR, RVF por sus siglas en inglés) si la profundidad del flujo cambia considerablemente sobre una distancia relativamente corta en la dirección del flujo (como el paso del flujo de agua a través de una compuerta parcialmente abierta o sobre las cascadas o caídas).
- Flujo de variación
gradual (FVG, GVF por sus siglas en inglés) si la profundidad del flujo cambia
gradualmente en una distancia larga a lo extenso del canal.
- Una región de flujo de variación gradual por lo general ocurre entre las regiones de un flujo de variación rápida y un flujo uniforme.
Como podemos ver en la figura.
En flujos de variación gradual se puede trabajar con la velocidad promedio unidimensional, tal y como se trabaja con ella en flujos uniformes.
Sin embargo, la velocidad promedio no siempre es la más útil o el parámetro más apropiado para flujos de variación rápida.
FLUJOS LAMINARES Y TURBULENTOS EN CANALES
Como el flujo en tuberías, el flujo en un canal abierto puede ser laminar, de transición o turbulento, esto depende del valor del número de Reynolds.
Numero de Reynolds:
- Aquí V es la velocidad promedio del líquido, v es la viscosidad cinemática y Rh es el radio hidráulico definido como la razón entre el área de la sección transversal del flujo Ac y el perímetro mojado p:
Radio Hidráulico:
- Si se considera que con frecuencia los canales abiertos vienen con secciones transversales irregulares, el radio hidráulico sirve como la longitud característica y da uniformidad al tratamiento de canales abiertos. También, el número de Reynolds es constante para toda la sección del flujo uniforme de un canal abierto.
- Como se recuerda, el diámetro Dh, para un flujo en una tubería se define como Dh = 4 Ac /p, así que el diámetro hidráulico es simplemente el diámetro de tubería en caso de tuberías circulares. Sin embargo, la relación entre radio hidráulico y diámetro hidráulico se vuelve.
Diámetro Hidráulico:
- Por lo tanto, un número de Reynolds basado en el radio hidráulico es una cuarta parte del número de Reynolds basado en el diámetro hidráulico como la longitud característica.
- El flujo sea laminar para Re ≤ 2 000 en caso de flujos en tubería.
- Re ≤ 500 en caso de flujos en canal abierto.
- El flujo en un canal abierto es, por lo general, turbulento para Re ≥ 2 500.
- Transición para 500 ≤ Re ≤ 2 500.
SECCIONES TÍPICAS DE CANALES ABIERTOS
Canal Trapezoidal:
Canal Rectangular:
Canal Circular:
Canal Ancho:
Otras Secciones:
NÚMERO DE FROUDE Y VELOCIDAD DE ONDAS
El flujo en canal abierto se clasifica como subcrítico o tranquilo, crítico, y supercrítico o rápido, esto depende del valor del número de Froude adimensional.
Numero de Froude:
- Donde "g" es la aceleración gravitacional, "V" es la velocidad promedio del líquido en la sección transversal, y "Lc" es la longitud característica, la cual se toma como la profundidad del flujo "y" para canales rectangulares anchos.
- El número de Froude es un parámetro importante que gobierna el tipo del flujo en canales abiertos.
El flujo se clasifica como :
Fr < 1 Flujo subcrítico o tranquilo
Fr = 1 Flujo crítico
Fr > 1 Flujo supercrítico o rápido
- Esto se parece a la clasificación de flujos compresibles respecto al número de Mach.
Ma < 1 Subsónico
Ma = 1 Sónico
Ma > 1 Supersónico
- En efecto, el denominador del número de Froude tiene la dimensión de la velocidad, y este representa la velocidad Co en el cual una pequeña alteración viaja sobre un líquido inmóvil.
- El número de Froude se expresa como la razón de la velocidad del flujo respecto a la velocidad de onda.
- Froude puede ser la raíz cuadrada de la razón de la fuerza de inercia (o dinámica) respecto a la fuerza de gravedad (o peso).
- Aquí LcA representa el volumen, ρLcA es la masa de volumen de este fluido y mg es el peso.
- Se considera el flujo de un líquido en un canal rectangular abierto a la atmósfera de un área de sección transversal Ac con un caudal "Q".
- Cuando el flujo es crítico, Fr = 1 y la velocidad promedio del flujo es:
Donde yc es la profundidad crítica.
- La profundidad puede expresarse ( usando Q = V.A). En caso general:
- Para un canal rectangular de ancho b se tiene Ac = byc, y la relación de la profundidad crítica se reduce a:
Profundidad critica para canal rectangular.
La profundidad del líquido es y > yc para flujos subcríticos y y < yc para flujos supercríticos.
Como podemos ver en la figura.
- Como en el caso de un flujo compresible, un líquido puede acelerarse desde subcrítico hasta supercrítico.
- Un flujo supercrítico hasta un subcrítico, éste puede suceder cuando se experimenta un choque. El choque en este caso se llama salto hidráulico.
VELOCIDAD DE ONDAS SUPERFICIALES
- Todos estamos familiarizados con las ondas formadas sobre superficies libres del océano, lagos, ríos y hasta en las albercas.
- Un parámetro importante en el estudio del flujo en un canal abierto, es la velocidad de onda.
- Co, es la velocidad de una pequeña alteración que viaja sobre un líquido.
Considere un canal largo y ancho, que inicialmente contiene un líquido inmóvil de altura y.
El extremo del canal avanza a la velocidad δV, generando una onda superficial de altura δy que se propaga a una velocidad Co dentro de un líquido inmóvil.
Como podemos ver en la imagen.
Ahora considere un volumen de control que rodee el frente de la onda y que se mueva.
Como podemos ver en la imagen.
- Para un observador que viaja con el frente de onda, el líquido de su derecha parece moverse hacía el frente de onda con una velocidad CO.
- El líquido de su izquierda parece alejarse del frente de onda con una velocidad de CO - δV.
- Para el observador pensaría que el volumen de control que rodea el frente de onda está en reposo, y que el es testigo de un proceso de flujo estacionario.
- El balance de la masa de flujo estacionario m1 = m2 (en la ecuación de continuidad) para el volumen de control de ancho b puede expresarse como:
Despejando δv queda.
Pueden formularse las siguientes hipótesis:
- La velocidad es casi constante a través del canal y los factores de corrección de cantidad de movimiento de flujo (β1 y β2) son iguales a 1.
- La distancia a través de la onda es corta y por lo tanto la fricción en el fondo de la superficie y la resistencia del aire en la parte de arriba son despreciables.
- Los efectos dinámicos son despreciables y por lo tanto la presión en el liquido varía hidrostáticamente; en términos de presión manométrica.
4. La razón de flujo de masa es constante: m1 = m2 = ρcoyb.
5. No hay fuerzas externas o fuerzas de cuerpo "y", por lo tanto, las únicas fuerzas que actúan sobre el volumen de control en la dirección horizontal "x" son las fuerzas de presión.
Entonces, la ecuación de cantidad de movimiento:
En la dirección "x" se convierte en un balance entre las fuerzas de presión hidrostática y la transferencia de cantidad de movimiento:
- Al combinar las ecuaciones de cantidad de movimiento y de continuidad y reordenar los términos se tiene:
- Por lo tanto, la velocidad de onda Co es proporcional a la altura de la onda δy. Para las ondas superficiales infinitesimales, δy << "y" y así:
Ondas superficiales infinitesimales:
- Este análisis es válido sólo para cuerpos de agua de poca profundidad.
- De otra manera, la velocidad de la onda es independiente de la profundidad del líquido en aguas profundas, como los océanos.
- La velocidad de onda también puede determinarse del balance de energía, en vez de la ecuación de cantidad de movimiento, combinado con la ecuación de continuidad.
- Las ondas finalmente disminuyen por los efectos de viscosidad que se descuidan en este análisis.
- Para un flujo en canal de sección transversal no rectangular, en el cálculo del número de Froude, en vez de la profundidad del flujo y, debe utilizarse la profundidad hidráulica definida como D= A/T , donde T es el ancho superficial.
- Cuando una piedra se tira a un río:
Vrio < Co - el frente de onda corriente arriba se desplaza corriente arriba (el flujo es tranquilo o subcrítico).
Vrio > Co - lo hace corriente abajo si el flujo es (rápido o supercrítico).
Vrio = Co - se mantiene en reposo en lugares donde se forma un (flujo crítico).
- Para finalizar, los flujos en ríos, canales y sistemas de irrigación son usualmente subcríticos.
- Pero el flujo en compuertas y desbordes es usualmente supercrítico.
ENERGÍA ESPECÍFICA
- Considere el flujo de un líquido en un canal en una sección transversal donde la profundidad del flujo es y, la velocidad promedio del flujo V, y la elevación relativa del fondo del canal a algún nivel de referencia dado z.
- Por sencillez, se ignora la variación de la velocidad del líquido a lo largo la sección transversal y se supone que la velocidad debe ser V en todas partes.
- La energía mecánica total del líquido en un canal en términos de carga se expresa como:
- Donde "z" es la carga de elevación, P/ρg = y es la carga de presión manométrica y V^2/2g es la carga dinámica o de velocidad.
- La energía total no es una representación realista de la energía verdadera de un fluido que fluye ya que el nivel de referencia que se eligió para la elevación y por tanto el valor de la carga de elevación "z" es un tanto arbitrario.
- La energía intrínseca del fluido a través de la sección transversal puede expresarse con mayor realidad si se toma como punto de referencia el fondo del canal y de esa manera Z = 0.
- La suma de la carga de presión y la carga dinámica de un líquido en un canal abierto se llama energía específica Es, y se expresa como:
- Considere el flujo en un canal abierto con un ancho constante b. Se observa que si el caudal es Q = Ac.V = ybV.
- La velocidad promedio del flujo puede expresarse como:
- La energía específica puede expresarse como:
- Esta ecuación es muy instructiva porque muestra la variación de la energía específica respecto a la profundidad del flujo.
Durante flujos estacionarios en un canal abierto el caudal y area es constante.
Como podemos ver en la figura.
A partir de esta figura observamos:
- La distancia desde un punto en el eje vertical y, a la curva, representa la energía específica correspondiente a este valor de profundidad y.
- La parte entre la línea Es = y y la curva corresponden a la carga dinámica (o energía cinética) del líquido, y la parte restante, a la carga de presión (o energía del flujo).
- La energía específica tiende a infinito cuando y → 0 (debido a que la velocidad se aproxima a infinito), y se vuelve igual a la profundidad del flujo y para valores grandes de y (debido a que la velocidad y en consecuencia la energía cinética se vuelven muy pequeñas).
- La energía específica alcanza un valor mínimo Es,mín en un punto intermedio, llamado punto crítico, caracterizado por la profundidad crítica yc y la velocidad crítica Vc.
- Existe una energía específica mínima Es,mín necesaria para mantener el caudal dado.
- Una línea horizontal intercepta la curva de la energía específica solamente en un punto, así que un valor fijo de la profundidad del flujo corresponde a un valor fijo de la energía específica.
- Para Es > Es,mín, una línea vertical intercepta la curva en dos puntos, indicando que un fluido puede tener dos profundidades diferentes (y por tanto dos velocidades diferentes) correspondientes a un valor fijo de energía específica.
- Esas dos profundidades se llaman profundidades alternas.
- Un pequeño cambio en la energía específica cerca del punto crítico causa gran diferencia entre las profundidades alternas y podría causar una violenta fluctuación en el nivel del flujo.
- Por lo tanto, las operaciones cerca del punto crítico deben evitarse en el diseño de canales abiertos.
- El valor de la energía específica mínima y la profundidad crítica en donde éste ocurre, pueden determinarse si se diferencia Es , respecto a y para constantes b y Q, y estableciendo que la derivada sea igual a cero.
- Se resuelve para y, la cual es la profundidad del flujo crítico yc, se tiene:
- El caudal en un punto crítico puede expresarse como Q = ycbVc. Al sustituir, la velocidad crítica se determina como:
- La cual es la velocidad de onda. El número de Froude en este punto es:
- Que indica que el punto de la energía específica mínima es efectivamente el punto crítico, y el flujo se convierte en crítico cuando la energía específica alcanza su valor mínimo.
- La energía específica mínima (o crítica) puede expresarse sólo en términos de la profundidad crítica como:
Cálculo De YC En Canal Muy Anchos.
Cálculo De YC En Sección Trapezoidal.
- Por método de tanteo.
FLUJO UNIFORME EN CANALES
- Un flujo en un canal se llama flujo uniforme si la profundidad del flujo (y la velocidad promedio de flujo ya que Q = AcV en flujo estacionario) permanece constante.
- Las condiciones de un flujo uniforme se encuentran, por lo común, en canales largos y rectos con una pendiente, y una sección transversal constantes y un revestimiento de las superficies del canal homogéneo.
- En el diseño de canales abiertos es muy deseable tener flujos uniformes en la mayoría de los sistemas ya que significa tener un canal de altura constante, lo cual es más fácil de diseñar y construir.
- La profundidad del flujo en flujos uniformes se le llama profundidad normal yn y a la velocidad promedio del flujo, velocidad de flujo uniforme Vo. El flujo permanece uniforme mientras la pendiente, la sección transversal y la rugosidad de la superficie del canal no tengan algún cambio.
- Cuando la pendiente del fondo aumenta, la velocidad del flujo aumenta y la profundidad del flujo disminuye. Por lo tanto, un nuevo flujo uniforme se establece con una nueva (más baja) profundidad. Lo contrario ocurre si la pendiente del fondo disminuye.
En un flujo uniforme, la profundidad de flujo y, la velocidad de flujo promedio V, y la pendiente de fondo S0 permanecen constantes, y la pérdida de carga es igual a la pérdida de elevación, hL = z1 - z2 = Sf L = S0L.
Como podemos ver en la figura.
- En caso del flujo en canal abierto de pendiente S0, sección transversal Ac, y el factor de fricción f constantes, se alcanza la velocidad final y en consecuencia el flujo uniforme se establece cuando la pérdida de la carga se iguala a la caída de elevación.
Tenemos:
- Ya que hL = S0L en un flujo uniforme y Dh = 4Rh. Cuando se resuelve la segunda relación para V0, la velocidad del flujo uniforme y el caudal se determinan de la siguiente manera:
Para resolver Vo:
Ecuacion de coeficiente de chezy:
- El coeficiente de Chezy puede determinarse de manera directa encontrando el factor de fricción f como se hace en caso de flujo en tubería, con ayuda del diagrama de Moody o la ecuación de Colebrook para el flujo totalmente rugoso (Re → 0),
- Donde e es la rugosidad de superficies de canal promedio.
- Flujo en un canal abierto usualmente es turbulento, y el flujo está totalmente desarrollado al momento cuando el flujo uniforme se establece.
- También en número de Reynolds grandes, las curvas del factor de fricción correspondientes a la rugosidad relativa especificada son casi horizontales, y por lo tanto el factor de fricción es independiente del número de Reynolds.
- El flujo en esa región se llama flujo turbulento totalmente rugoso.
- Desde que surgieron las ecuaciones de Chezy, numerosos investigadores han realizado esfuerzos considerables para desarrollar las relaciones empíricas para la velocidad promedio y el flujo volumétrico más simple.
- La ecuación de uso más generalizado la desarrolló independientemente el francés Philippe Gaspard Gauckler (1826-1905) en 1868 y el irlandés Robert Manning (1816-1897) en 1889.
- Ambos observaron que la constante en la ecuación de Chezy puede expresarse de la siguiente manera:
- Donde "n" se llama coeficiente de Manning, cuyo valor depende de la rugosidad de la superficie del canal.
- Sustituye en las ecuaciones de chezy.
Obtenemos para flujo uniforme.
Ecuacion de Manning para velocidad Ecuacion de Manning para caudal
- El factor "a" es una constante dimensional cuyo valor en unidades SI es a = 1 m1/3/s.
1 m = 3.2808 ft, su valor en unidades inglesas es:
- Experimentalmente se han determinado valores de "n", n"" varía desde 0.010 para un canal de vidrio hasta 0.150 para un plano inundado cargado con árboles (15 veces más que para un canal de vidrio).
- Existe considerable incertidumbre en el valor de "n", especialmente en canales naturales, como debe esperarse, porque ningún canal es exactamente igual a otro.
- La dispersión puede ser 20% o más.
- El coeficiente "n" depende también del tamaño y forma del canal como también de la rugosidad de su superficie.
FLUJO UNIFORME CRÍTICO
- El flujo en un canal abierto se vuelve flujo crítico cuando el número de Froude (Fr = 1).
- La velocidad del flujo es igual a la velocidad de onda.
.
- Donde yc es la profundidad crítica del flujo.
- Cuando el caudal entra , la pendiente del canal S0, y el coeficiente de Manning n se conocen, la profundidad normal del flujo yn puede determinarse a partir de la ecuación de Manning.
- Puesto que Ac y Rh son ambas funciones de yn, con frecuencia la ecuación termina siendo implícita en yn y para resolverla se necesita una solución numérica (o el método de prueba y error).
- Si yn = yc, el flujo es un flujo crítico uniforme y la pendiente del fondo S0 es igual a la pendiente crítica Sc en este caso.
- Cuando la profundidad del flujo yn se conoce en vez del caudal puede determinarse de la ecuación de Maning.
- El flujo es crítico sólo si yn = yc.
- En caso de un flujo uniforme crítico, S0 = Sc, y yn = yc.
- Para Sc, se obtiene la siguiente relación general para una pendiente crítica.
.
- Para flujo en un canal ancho rectangular con b >> yc.
.
- Esta ecuación da la pendiente necesaria para mantener un flujo crítico de profundidad yc, en un canal ancho rectangular que tiene un coeficiente Manning de n.
FLUJO DE VARIACIÓN GRADUAL
- En esta sección se toma en cuenta un flujo de variación gradual (FVG, GVF por sus siglas en inglés).
- Una forma de flujo estacionario no uniforme con una variación gradual en la profundidad y velocidad de flujo (pendientes pequeñas y sin cambios bruscos) y una superficie libre que siempre se mantiene suave (sin discontinuidades o zigzag).
- Flujos que implican cambios rápidos de profundidad y velocidad del flujo, llamados flujos de variación rápida (FVR, RVF por sus siglas en inglés).
- Un cambio en la pendiente del fondo o un cambio de la sección transversal o una obstrucción en el camino del flujo pueden causar que el flujo uniforme se vuelva un flujo de variación gradual o rápida.
- Las pérdidas de carga en FVR son altas y se deben a la intensa agitación y turbulencia.
- Las pérdidas en FVG, por otro lado, se deben más que todo a los efectos de fricción a lo largo del canal y pueden determinarse con la fórmula de Manning.
- En flujos de variación gradual la profundidad del flujo y la velocidad varían lentamente y la superficie libre es estable.
- Esto hace posible formular la variación de la profundidad del flujo a lo largo del canal con ayuda de la ley de la conservación de masa y el principio de la conservación de energía y también obtener las relaciones para el perfil de la superficie libre.
- En un flujo uniforme, la pendiente de la línea de energía es igual a la pendiente del fondo del canal.
- Por lo tanto la pendiente de fricción es igual a la pendiente del fondo Sf = S0. En flujos de variación gradual, sin embargo, estas pendientes son diferentes.
- Considere un flujo estacionario en un canal abierto rectangular con un ancho b, tome en cuenta alguna variación en la pendiente del fondo y una profundidad del agua también gradual.
- Se escribe la ecuación en términos de la velocidad promedio V y se considera que la distribución de la presión es hidrostática.
- La carga total del líquido en cualquier sección transversal es:
.
Donde zb es la distancia vertical de la superficie del fondo del nivel de referencia.
Al diferenciar H respecto a x se tiene:
Ecuación 1
- Pero H es la energía total del líquido y por tanto dh/dx es la pendiente de la línea de energía (cantidad negativa), la cual es igual al valor negativo de la pendiente de la fricción.
- También, dzb /dx es igual al valor negativo de la pendiente del fondo. Por lo tanto:
Ecuación 2
Sustituimo la ecuación y tenemos:
Ecuación 3
- La ecuación de continuidad para flujo estacionario en canal rectangular es Q= ybV = constante.
- Al diferenciar respecto a x resulta:
Ecuación 4
- Se sustituye la ecuación 3 y 4 el número de Froude.
Ecuación 5
- Al resolver para dy/dx se obtiene la relación deseada para la razón de cambio de la profundidad del flujo (o el perfil de la superficie) en flujo de variación gradual en un canal abierto.
Ecuación 5
- El cual es análogo a la variación del área del flujo como una función del número de Mach en flujo compresible.
- Esta relación se deduce a partir de un canal rectangular, pero también es válida para canales de otras secciones transversales constantes si el número de Froude se expresa adecuadamente.
- El número de Froude es siempre positivo y también lo es la pendiente de fricción Sf (excepto en el caso hipotético de un flujo con fricción despreciable para el cual tanto hL como Sf son cero).
- La pendiente del fondo S0 es positiva para tramos de pendiente descendente (por lo general el caso), cero para tramos horizontales y negativa para tramos con pendiente ascendente (flujo adverso).
- La profundidad del flujo se incrementa cuando dy/dx > 0, disminuye cuando dy/dx > 0, y se mantiene constante (por lo tanto la superficie libre es paralela al fondo del canal, como en flujos uniformes).
- Cuando dy/dx = 0 y también S0 = Sf. Para valores específicos de S0 = Sf, el término dy/dx puede ser positivo o negativo depende si el número de Froude es mayor o menor que 1.
- Por lo tanto, el comportamiento de los flujos subcrítico y supercrítico son opuestos.
- Para S0 - Sf > 0, por ejemplo, la profundidad del flujo se incrementa en la dirección del flujo en flujos subcríticos, pero disminuye en flujos supercríticos.
- La determinación del signo del denominador 1 - Fr^2 es fácil;
Fr < 1 - este es positivo para flujos subcríticos.
Fr > 1 - negativo para flujos supercríticos.
- Pero el signo del numerador depende de las magnitudes relativas de S0 y Sf.
- Observe que la pendiente de la fricción Sf es siempre positiva y su valor es igual a la pendiente del canal S0 en flujo uniforme, y = yn.
- La pérdida de carga aumenta cuando aumenta la velocidad, y la velocidad es inversamente proporcional a la profundidad de flujo para un caudal dado.
- Sf > S ,por tanto S0 - Sf < 0 cuando y < yn, y Sf - S0 y en consecuencia S0 > Sf > 0 cuando y > yn.
- El numerador S0 - Sf es siempre negativo en la horizontal (S0 = 0) y canales de pendiente ascendente (S0 < 0), por lo tanto, la profundidad del flujo disminuye en la dirección del flujo en caso de flujo subcrítico en estos canales.
PERFILES DE SUPERFICIE DE LÍQUIDO EN CANALES ABIERTOS Y(X)
- Las características generales de los perfiles de superficie para flujos de variación gradual dependen de la pendiente del fondo y la profundidad del flujo relativa a lasprofundidades críticas y normales.
- Un canal abierto típico incluye varias secciones de diferentes pendientes de
fondo S0 y distintos regímenes de flujo, por lo tanto varios tramos de diferentes
perfiles de superficie.
- La forma general del perfil de superficie en un tramo de pendiente decreciente de un canal es diferente a un tramo de pendiente ascendente.
- El perfil en flujos subcríticos es diferente al perfil en flujos supercríticos.
- Un flujo uniforme que no incluye fuerzas de inercia, flujos de variación gradual implican aceleración y desaceleración de líquido.
- El perfil de superficie refleja el balance dinámico entre el peso del líquido,
la fuerza de fricción y los efectos inerciales.
- Cada perfil de superficie se define por una letra que indica la pendiente del canal y por el número que indica la profundidad del flujo relativa a la profundidad crítica yc y la profundidad normal yc.
- La pendiente del canal puede ser
suave (M, de mild en inglés), crítica (C), pronunciada (S, de steep en inglés),
horizontal (H) o adversa (A).
Como podemos ver en la figura.
- Se dice que la pendiente del canal es suave si yn > yc.
- Pronunciada si yn < yc.
- Crítica si yn = yc.
- Horizontal si S0 = 0 (pendiente del fondo cero).
- Adversa si S0 < 0 (pendiente negativa).
- Note que el líquido fluye cuesta arriba en un canal abierto que tiene una pendiente adversa.
- La clasificación de un tramo del canal depende de la razón de flujo y la sección transversal del canal, como también de la pendiente del fondo del canal.
- Un tramo del canal que se clasifica por tener una pendiente suave para cierto flujo, puede tener una pendiente pronunciada para otro , y aún más, una pendiente crítica para un tercero.
- Por lo tanto, se necesita calcular la profundidad crítica yc y
la profundidad normal yc, antes de evaluar la pendiente.
- La designación de números indica la posición inicial de la superficie libre del
líquido para una pendiente de canal dada relativa a los niveles de la superficie libre
en flujos crítico y uniforme.
Como se muestra en la figura.
Un perfil de la superficie se designa por:
- 1. Si la profundidad del flujo está arriba de las profundidades crítica y normal (y > yc y y < yn).
- 2. Si la profundidad del flujo está entre las dos (yn > y = yc o yn < y < yc).
- 3. Si la profundidad del flujo está abajo de las profundidades crítica y normal (y < yc y
y < yn).
- Por lo tanto, tres perfiles diferentes son posibles para un tipo específico dependiente del canal.
- El flujo de tipo 1 no puede existir, porque el flujo nunca puede ser uniforme en canales cuesta arriba u horizontales y por tanto la profundidad normal no está definida.
- El flujo de tipo 2 no existe en canales con pendiente crítica, porque las profundidades críticas y normales son idénticas en este caso.
- El número de Froude también se da para cada caso con Fr > 1 para y < yc, como también se indica el signo de la pendiente dy/dx del perfil de la superficie, dy/dx = (S0 - Sf ) / (1 - Fr^2).
- dy/dx > 0, y por tanto la profundidad del flujo aumenta en la dirección del flujo, cuando ambos S0 - Sf y 1 - Fr^2 son positivos o negativos.
- En caso opuesto dy/dx < 0 y la profundidad del flujo disminuye.
- En flujos de tipo 1, la profundidad del flujo aumenta en la dirección de flujo y el perfil de la superficie se aproxima al plano horizontal asintóticamente.
- En flujos de tipo 2, la profundidad del flujo disminuye y el perfil de la superficie se aproxima por abajo de yc o yn.
- En flujos de tipo 3, la profundidad del flujo aumenta
y el perfil de la superficie continúa mientras que no haya un cambio en la
pendiente del flujo o en la rugosidad.
- M1 (pendiente suave del canal y y > yn > yc).
- El flujo es subcrítico porque y > yc y por tanto Fr < 1 y 1 - Fr^2 > 0.
- También Sf < S0 y en consecuencia S0 - Sf > 0, ya que y > yn, por tanto la velocidad del flujo es menor que la velocidad en flujo normal.
- La pendiente en el perfil de la superficie dy/dx = (S0 = Sf )/(1 - Fr^2) > 0, y la profundidad del flujo y aumenta en la dirección de flujo.
- Pero como y aumenta, la velocidad del flujo disminuye, y por consiguiente Sf y Fr se aproxima a cero.
- Consecuentemente, dy/dx se aproxima a S0 y la razón de incremento
en la profundidad del flujo se vuelve igual a la pendiente del canal.
- Esto exige
que el perfil de la superficie primero crezca en la dirección del flujo y luego
tienda a la asíntota horizontal.
CLASIFICACIÓN DE PERFIL EN FLUJO GRADUALMENTE VARIADOS
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- Como y → yc en flujos subcríticos (como en M2, H2 y A2), se tiene Fr → 1 y 1 - Fr^2 → 0, por tanto la pendiente dy/dx tiende al infinito negativo.
- Pero y → yc en flujos supercríticos (como en M3, H3, y A3) se tiene Fr → 1 y 1 - Fr^2 → 0, por consiguiente la pendiente dy/dx, la cual es una cantidad positiva, tiende a infinito.
- Por eso, la superficie libre crece casi verticalmente y la profundidad del flujo aumenta muy rápido.
- Esto no puede sostenerse físicamente y la superficie libre se derriba, el resultado es un salto hidráulico.
- La suposición
unidimensional no es aplicable cuando esto sucede.
FLUJO DE VARIACIÓN RÁPIDA Y SALTO HIDRÁULICO
- Recuerde que un flujo en canales abiertos se llama flujo de variación rápida (FVR, RVF por sus siglas en inglés) si su profundidad cambia de manera evidente en una distancia relativamente corta en la dirección del flujo.
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- Estos flujos ocurren en compuertas de desagüe, vertederos de pared delgada o gruesa, cascadas y la sección de transición de canales que se expanden o se contraen.
Como podemos ver en la figura.
- Usualmente los flujos de variación rápida son complicados por el hecho de que implican importantes efectos multidimensionales y transitorios, flujos en reversa y separación de flujos.
- Los flujos de variación rápida por lo general se estudian de manera experimental o numéricamente.
- El flujo en canales inclinados puede ser supercrítico, y éste puede cambiar a subcrítico si el canal no puede mantener un flujo supercrítico debido a una reducción de la pendiente del canal o el incremento de los efectos de fricción.
- Cualquier cambio de supercrítico a subcrítico ocurre mediante un salto hidráulico.
Como podemos ver en la figura.
- Un salto hidráulico implica considerables mixturas y agitaciones, y por consiguiente una cantidad considerable de disipación de energía mecánica.
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- Considere un flujo estacionario a través de un volumen de control que rodea un salto hidráulico.
Como se muestra en la figura.
Para hacer posible un análisis simple, se necesitan establecer las siguientes hipótesis:
- La velocidad es casi constante a través de las secciones 1 y 2 del canal, y por lo tanto, los factores de corrección del momento del flujo son β1 = β2 ≡ 1.
Como podemos ver en la figura.
2. La presión en el líquido varía hidrostáticamente, y se considerará la presión manométrica solamente ya que la presión atmosférica actúa sobre todas las superficies y su efecto se cancela.
3. El esfuerzo del corte y las pérdidas asociadas son despreciables respecto a las pérdidas que ocurren durante el salto hidráulico debido a su intensidad.
4. El canal es ancho y horizontal.
5. No hay fuerzas externas o de cuerpo más que la gravedad.
- Para un canal de ancho b, la ley de conservación de la masa o la ecuación de continuidad m2 = m1 puede expresarse como ρy1bV1 = ρy2bV2 o
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- Note que las únicas fuerzas que actúan en el volumen de control en la dirección horizontal x son las fuerzas de presión.
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- En la dirección x se vuelve un equilibro entre las fuerzas de presión hidrostática y la transferencia de cantidad de movimiento:
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- Donde P1,prom = ρgy1/2 y P2,prom = ρgy2/2.
- Para un canal de ancho b, se tiene que A1 = y1b, A2 = y2b, y m = m2 = m1 = ρA1V1 = ρy1bV1. Se sustituye y se simplifica, la ecuación de cantidad de movimiento se reduce a:
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- Se elimina V2 con el uso de V2 = (y1/y2)V1 que se obtiene de la ecuación de continuidad:
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- Cuando se cancelan los factores comunes y1 - y2 en ambos lados y se reacomodan, se obtiene:
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- Esta es una ecuación cuadrática para y2/y1, y tiene dos raíces, una negativa y otra positiva.
- Note que y2/y1 no puede ser negativa ya que tanto y2 como y1 son cantidades positivas, la profundidades y2/y1 se determina de la siguiente manera:
Para calcular la profundidades y:
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- La ecuación de energía para el tramo de flujo horizontal puede expresarse de la siguiente manera:
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- La pérdida de carga relacionada con el salto hidráulico se expresa así:
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- La caída en la línea de energía a través del salto representa la pérdida de carga hL relacionada con el salto.
- Para Fr1 y y1 dadas, la profundidad del flujo corriente abajo y2 y la pérdida de carga hL pueden calcularse respectivamente.
- Si se traza hL contra Fr1 se revela que hL se vuelve negativa cuando (Fr1 < 1).
- El flujo corriente arriba debe ser supercrítico (Fr1 > 1) cuando ocurre un salto hidráulico.
- La pérdida de carga es una medida de la energía mecánica disipada mediante la fricción de fluido interna, y la pérdida de carga es usualmente indeseable porque representa la energía mecánica perdida.
- Pero algunas veces los saltos hidráulicos se diseñan en conjunción con cuencas inmóviles y flujos de desborde de presas, y es deseable desperdiciar tanta energía mecánica como sea posible para minimizar la energía mecánica del agua y por tanto su potencial para causar daños.
- Esto se hace primero cuando se producen flujos supercríticos, se convierten grandes presiones en grandes velocidades lineales, y después se permite que el flujo agite y disipe parte de su energía cinética, hasta que se rompa y se desacelere hasta una velocidad subcrítica.
- Una medida de ejecución de un salto hidráulico es la fracción de su disipación de energía.
- La energía específica de un líquido antes del salto hidráulico es Es1 = y1 + V1 ^2/2g.
Como podemos ver en la figura.
- Para calcular la disipación de energía se puede expresar de esta manera:
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- La fracción de la energía disipada se extiende sólo desde un porcentaje para saltos hidráulicos débiles (Fr1 < 2) hasta 85% para saltos hidráulicos fuertes (Fr1 > 9).
- En el rango de los números de Froude de interés práctico, se observa que la longitud del salto hidráulico es de 4 hasta 7 veces la profundidad del flujo corriente abajo y2.
- Estudios experimentales indican que el salto hidráulico puede considerarse en 5 categorías.
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- Esto depende primero del valor del número de Froude corriente arriba Fr1.
- Para Fr1 cualquiera mayor que 1, el líquido crece ligeramente durante el salto hidráulico y produce ondas en el mismo lugar. A un valor de Fr1 más grande, ocurren ondas oscilatorias muy peligrosas.
- El rango deseable del número de Froude es 4.5 < Fr1 < 9, en el cual se producen ondas estacionarias estables y bien balanceadas con altos niveles de disipación de energía en el salto.
- Saltos hidráulicos con Fr1 > 9 producen ondas muy agitadas.
- Profundidades y2/y1 varía del valor ligeramente por arriba de 1, en saltos ondulares que son leves e incluyen pequeños crecimientos del nivel de la superficie hasta 12 en saltos fuertes, que son grandes e incluyen crecimientos altos del nivel de la superficie.
- Esta sección se limita a considerar los canales horizontales rectangulares, para los cuales el margen y los efectos de la gravedad sean despreciables.
- Saltos hidráulicos en canales no rectangulares y canales con pendiente se comportan de manera similar, pero las características del flujo y por tanto la relación para la razón de profundidades, pérdida de carga, longitud del salto y la razón de disipación son diferentes.